Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（其中c為非零常數(shù)，n∈N^*），a₁、a₂、a₃組成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）記數(shù)列的前n項和為S_n，求證．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
當(dāng)c=0時，a₁=a₂=a₃，不合題意，舍去．
故c=2．
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時，
∵a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，
∴a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c
=，
∵a₁=2，c=2，
∴a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n≥2，n∈N⁺），
當(dāng)n=1時，上式也成立，
所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），
∴．
當(dāng)n-1時，，
當(dāng)n≥2時，由=，
得
=，
∴．
分析：（Ⅰ）由題意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，由a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，能求出c的值．
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c=，所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），．由此能夠證明．
點(diǎn)評：本題考查不等式和數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．