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10.已知f(x)為[-3,3]上的偶函數(shù),當(dāng)0≤x≤3時(shí),f(x)=ex+3x.
(1)求-3≤x≤0時(shí),f(x)的解析式;
(2)解關(guān)于a的不等式f(a2-2)>f(2a).

分析 (1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可.
(2)利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)若-3≤x≤0,則0≤-x≤3,
∵當(dāng)0≤x≤3時(shí),f(x)=ex+3x.
∴當(dāng)0≤-x≤3時(shí),f(-x)=e-x-3x.
∵f(x)為[-3,3]上的偶函數(shù),
∴f(-x)=e-x-3x=f(x),
即f(x)=e-x-3x.-3≤x≤0,
(2)當(dāng)0≤x≤3時(shí),f(x)=ex+3x為增函數(shù),
∵f(x)為[-3,3]上的偶函數(shù),
∴不等式f(a2-2)>f(2a)等價(jià)為不等式f(|a2-2|)>f(|2a|).
{|a22||2a|3a22332a3,即{a222aa222a1a2532a32,
{a22a20a2+2a205a532a32
{a1+3a1313a1+35a532a3232≤a<31,
即不等式的解集為[3231).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及不等式的求解,利用函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

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