Question

4．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差為d，{b_n}為等比數(shù)列，公比為q，a₁=1，a₁+a₃=b₂，2a₂²=b₃
（1）求d與q的函數(shù)關系式；
（2）當d=3，且b₁=2；
（I）求{b_n}的通項公式；
（II）若c_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}_{n}+1}$的前n項和為T_n，求證T_n＞$\frac{8}{27}$．

Answer 1

分析 （1）直接由題意列式可得d與q的函數(shù)關系式；
（2）（Ⅰ）由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，把數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式代入c_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}_{n}+1}$，放縮后利用錯誤相減法證明．

解答 （1）解：由a₁=1，a₁+a₃=b₂，2a₂²=b₃，
得1+1+2d=b₁q，$2（1+d）^{2}=_{1}{q}^{2}$，聯(lián)立得2（1+d）²=2（1+d）q，
得1+d=q；      
（2）當d=3，且b₁=2時，q=4，b₁=2，
（Ⅰ）解：由等比數(shù)列的通項公式可得$_{n}=2•{4}^{n-1}={2}^{2n-1}$；
（Ⅱ）證明：a_n=1+3（n-1）=3n-2，
c_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}_{n}+1}$=$\frac{{n}^{2}}{2（3n-2）•{4}^{n-1}+1}$=$\frac{{n}^{2}}{（\frac{3}{2}n-1）•{4}^{n}+1}$＞$\frac{{n}^{2}}{（\frac{3}{2}n-1）•{4}^{n}+{4}^{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{\frac{3}{2}n•{4}^{n}}$=$\frac{2}{3}n•\frac{1}{{4}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{2}{3}（1•\frac{1}{4}+2•\frac{1}{{4}^{2}}+…+n•\frac{1}{{4}^{n}}）$，①
令${R}_{n}=1•\frac{1}{4}+2•\frac{1}{{4}^{2}}+…+n•\frac{1}{{4}^{n}}$，得：
$\frac{1}{4}{R}_{n}=1•\frac{1}{{4}^{2}}+2•\frac{1}{{4}^{3}}+…+n•\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
兩式作差得：$\frac{3}{4}{R}_{n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}-n•\frac{1}{{4}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}-n•\frac{1}{{4}^{n+1}}=\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）-n•\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
∴${R}_{n}=\frac{4}{9}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）-\frac{n}{9}•\frac{1}{{4}^{n}}$，代入①，得${T}_{n}=\frac{8}{27}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）-\frac{2n}{27}•\frac{1}{{4}^{n}}$＞$\frac{8}{27}$．

點評 本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．