Question

函數(shù)S（x）=

1，x≥0 0，x＜0

，設(shè)f（x）=（-x²-4x-3）S（x-1）+（x²-1）S（1-x）
（1）寫出函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間，并證明f（x）不是奇函數(shù)；
（2）若集合A={x|f（x）=a，x∈R}中所有元素的和為

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，寫出a值的集合；
（3）設(shè)F（x）=f（x+k），是否存在實數(shù)k，使F（x）為奇函數(shù)？若存在，試給出一個k的取值范圍，使F（x）=f（x+k）為奇函數(shù)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）由函數(shù)S（x），討論x=1，x＞1，x＜1，即可得到f（x），再求各段的單調(diào)區(qū)間，即可得到增區(qū)間；
（2）畫出f（x）的圖象，通過觀察，解方程，即可得到a的值；
（3）假設(shè)存在實數(shù)k，使F（x）為奇函數(shù)，即有F（-x）=-F（x），即有F（0）=0，求出k，再檢驗F（x）的奇偶性，可結(jié)合圖象的平移即可判斷．

解答： 解：（1）由于f（x）=（-x²-4x-3）S（x-1）+（x²-1）S（1-x），
則當(dāng)x=1時，f（1）=-8S（0）+0=-8，
當(dāng)x＞1時，x-1＞0，1-x＜0，則f（x）=-x²-4x-3，f（x）在（1，+∞）遞減；
當(dāng)x＜1時，x-1＜0，1-x＞0，則f（x）=x²-1，f（x）在（0，1）遞增．
則f（x）的增區(qū)間為（0，1）．
證明：由于當(dāng)x＞1時，-x＜-1＜1，即有f（-x）=（-x）²-1=x²-1，
而f（x）=-x²-4x-3，顯然f（-x）≠-f（x），
則f（x）不是奇函數(shù)；
（2）由于f（x）=

x2-1，x＜1 -8，x=1 -x2-4x-3，x＞1

，如右圖：
只有a＜-8成立，則由-x²-4x-3=a，解得x=-2+

1-a

（負值舍去），
由-2+

1-a

=

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，解得，a=-

551

25

．
則a值的集合為{-

551

25

}；
（3）假設(shè)存在實數(shù)k，使F（x）為奇函數(shù)，即有F（-x）=-F（x），
即有F（0）=0，即f（k）=0，即有k²-1=0，解得k=±1，
當(dāng)k=1時，f（x+1）的圖象可由f（x）的圖象向左平移1個單位得到，顯然不關(guān)于原點對稱，
則不存在實數(shù)k，使F（x）為奇函數(shù)．

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及運用，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題和易錯題．