Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，PA=2．求：
（1）直線PA與底面ABCD所成的角；
（2）直線PB與底面ABCD所成的角（精確到0.1°）；
（3）直線PC與底面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 由PA⊥平面ABCD可知，直線PA與底面ABCD所成的角為90°，直線PB與底面ABCD所成的角為∠PBA，直線PC與底面ABCD所成的角為∠PCA，分別求出兩角的正切值即可得出所要求的線面角．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA與底面ABCD所成的角為90°．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA為直線PB與底面ABCD所成的角．
∴tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PBA=arctan$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≈49.1°．
∴直線PB與底面ABCD所成的角約為49.1°．
（3））∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角．
∵四邊形ABCD是矩形，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2．
∵tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}=1$．
∴∠PCA=45°，
∴直線PC與底面ABCD所成的角為45°．

點評 本題考查了線面角的定義與計算，屬于基礎(chǔ)題．