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5.已知函數(shù)f(x)=23sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}-2sin2\frac{ωx}{2}(ω>0)的最小正周期為3π.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,a<b<c,\sqrt{3}a=2csinA,并且f(\frac{3}{2}A+\frac{π}{2})=\frac{11}{13},求cosB的值.

分析 (I)由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f(x)=2sin(ωx+\frac{π}{6})-1,由周期公式可得ω,解2kπ-\frac{π}{2}\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}可得;
(Ⅱ)由題意和已知數(shù)據(jù)可得cosA=\frac{12}{13},進(jìn)而可得sinA=\frac{5}{13},再由\sqrt{3}a=2csinA和正弦定理可得C=\frac{2π}{3},整體代入cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC,計(jì)算可得.

解答 解:(I)由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得
f(x)=2\sqrt{3}sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}-2sin2\frac{ωx}{2}
=\sqrt{3}sinωx-1+cosωx
=2sin(ωx+\frac{π}{6})-1,
∵函數(shù)f(x)的最小正周期為T=3π,
∴ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{3π}=\frac{2}{3}
∴f(x)=2sin(\frac{2}{3}x+\frac{π}{6})-1,
由2kπ-\frac{π}{2}\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}可得3kπ-π≤x≤3kπ+\frac{π}{2},
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ-π,3kπ+\frac{π}{2}],k∈Z;
(Ⅱ)∵f(\frac{3}{2}A+\frac{π}{2})=\frac{11}{13},∴2sin(A+\frac{π}{3}+\frac{π}{6})-1=\frac{11}{13},
∴2sin(A+\frac{π}{2})-1=\frac{11}{13},∴2cosA-1=\frac{11}{13},
解得cosA=\frac{12}{13},∴sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}=\frac{5}{13}
再由\sqrt{3}a=2csinA和正弦定理可得\sqrt{3}sinA=2sinCsinA,
約掉sinA可得sinC=\frac{\sqrt{3}}{2},∴C=\frac{π}{3}或C=\frac{2π}{3}
又∵a<b<c,∴C為最大角,C=\frac{π}{3}矛盾,
故C=\frac{2π}{3},cosC=-\frac{1}{2},
∴cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC
=\frac{5}{13}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{12}{13}×(-\frac{1}{2})=\frac{5\sqrt{3}+12}{26}

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換,涉及三角函數(shù)公式和單調(diào)性以及解三角形,屬中檔題.

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