Question

點O是邊長為4的正方形ABCD的中心，點E，F分別是AD，BC的中點．沿對角線AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B
（1）求∠EOF的大��；
（2）求二面角E-OF-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點E作EG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H，先求出EF，再利用余弦定理，即可求∠EOF的大��；
（2）過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，連EM，證明∠EMG就是二面角E-OF-A的平面角，從而可求二面角E-OF-A的平面角．
解答：解：（1）如圖，過點E作EG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H，則EG=FH=，GH=2．
∵二面角D-AC-B為直二面角，∴EF²=GH²+EG²+FH²-2EG•FHcos90°=8+2+2-0=12
又在△EOF中，OE=OF=2，∴cos∠EOF===-． 
∴∠EOF=120°．…..（6分）
（2）過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，連EM．
∵二面角D-AC-B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，
又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．
∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．
∴∠EMG就是二面角E-OF-A的平面角．…..（9分）
在Rt△EGM中，∠EGM=90°，EG=，GM=OE=1，
∴tan∠EMG==，∴cos∠EMG=
∴二面角E-OF-A的余弦值為．…..（12分）
點評：本題考查空間角，考查面面角，考查余弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．