Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，B為橢圓上頂點，△BF₁F₂為正三角形，且P為橢圓上一點，A（0，2$\sqrt{2}$）為橢圓外一點，|PA|-|PF₂|的最小值為-1，過點F₂且垂直于x軸的直線交橢圓于C，D，直線l₁：y=mx+n與圓x²+y²=3相切并且交橢圓于M，N（M，N在直線CD的兩側(cè)）兩點．
（1）求橢圓的方程．
（2）當四邊形CMDN的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），B（0，b），由題意可得a=2c，再由橢圓的定義和三點共線取得最小值，可得$\sqrt{{c}^{2}+8}$-2a=-1，解方程可得a=2，c=1，求得b，進而得到橢圓方程；
（2）運用直線和圓相切的條件：d=r，求得|CD|=3，聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，由四邊形CMDN的面積S=$\frac{1}{2}$|CD|•|x₁-x₂|，化簡整理，運用基本不等式可得最大值及等號成立的條件，求得直線l的方程．

解答 解：（1）設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），B（0，b），
由△BF₁F₂為正三角形，可得|BF₁|=|F₁F₂|，
即有a=2c，①
由橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|，
即|PF₂|=2a-|PF₁|，
則|PA|-|PF₂|=|PA|-（2a-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-2a，
≥|AF₁|-2a=$\sqrt{{c}^{2}+8}$-2a，
當A，P，F(xiàn)₁共線時，|PA|+|PF₁|取得最小值，
即有$\sqrt{{c}^{2}+8}$-2a=-1，②
由①②可得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由直線l：y=mx+n與圓x²+y²=3相切，
可得$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即為n²=3+3m²，
令x=1可得y=±$\sqrt{3（1-\frac{1}{4}）}$=±$\frac{3}{2}$，即|CD|=3，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$可得（3+4m²）x²+8mnx+4n²-12=0，
即有△=64m²n²-4（3+4m²）（4n²-12）＞0，化為3+4m²＞n²，
可得3+3m²＜3+4m²，即有m≠0，
x₁+x₂=-$\frac{8mn}{3+4{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{n}^{2}-12}{3+4{m}^{2}}$，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{64{m}^{2}{n}^{2}}{（4{m}^{2}+3）^{2}}-\frac{4（4{n}^{2}-12）}{3+4{m}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{3+4{m}^{2}}$，
則四邊形CMDN的面積S=$\frac{1}{2}$|CD|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•3•$\frac{4\sqrt{3}|m|}{3+4{m}^{2}}$
=$\frac{6\sqrt{3}}{\frac{3}{|m|}+4|m|}$≤$\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{12}}$=$\frac{3}{2}$．
當且僅當4|m|=$\frac{3}{|m|}$，即m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，取得最大值，此時n²=3+$\frac{9}{4}$，
可得n=±$\frac{\sqrt{21}}{2}$，檢驗可得直線y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{21}}{2}$和y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{21}}{2}$，符合題意．
（直線y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{21}}{2}$和y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{21}}{2}$與橢圓交于M，N不在CD的兩側(cè)，舍去）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的定義和三點共線取得最小值，考查四邊形面積的最大值及直線方程的求法，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，同時考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．