Question

在等邊△ABC中，D在AB上運(yùn)動(dòng)，E在AC上運(yùn)動(dòng)，DE∥BC，將△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B的平面角為60⁰，當(dāng)四棱錐A-DBCE體積最大時(shí)，AD：DB等于（　�。�

• A．1：1
• B．1：(

  3

  -1)
• C．1：

  2

• D．

  2

  ：

  3

Answer 1

分析：在原圖中取DE的中點(diǎn)O，則在立體圖中，可證明∠AOF是二面角A-DE-B的平面角，且可得平面AOF⊥平面BCDE，再作出等邊△AOF的邊OF的高AM，再證明AM是四棱錐A-BCED的高即可．

解答：解：如圖所示：設(shè)BC=2，AD=2x，BD=2-2x．（0＜x＜1）．
∵DE∥BC，∴△ADE是等邊三角形，取DE的中點(diǎn)O，則DO=OE=x，AO=

3

x．
∴S_{四邊形BCDE}=S_△ABC-S_△ADE=

3

4

×22-

3

4

×(2x)2=

3

(1-x2)．
由于O是等邊△ADE的邊DE的中點(diǎn)，∴AF⊥DE．∴在第二個(gè)圖中，AO⊥DE，F(xiàn)O⊥DE．∴∠AOF是二面角A-DE-B的平面角．
∴∠AOF=60°．又AO=OF，∴△AOF是等邊三角形．
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥OF，M是垂足，得AM=

3

2

×

3

x=

3

2

x．
由DE⊥平面AOF，∴平面AOF⊥平面BCED，∴AM⊥平面BCED，∴AM是四棱錐的高．
∴V_{四棱錐A-BCED}=

1

3

×

3

(1-x2)×

3

2

x=

3

2

×(x-x3)，
∴V^′=

3

2

(1-3x2)，令V^′=0，解得x=

3

3

（∵0＜x＜1）．
∵當(dāng)x∈(0，

3

3

)時(shí)，V^′＞0；當(dāng)x∈(

3

3

，1)時(shí)，V^′＜0．
∴函數(shù)V在區(qū)間(0，

3

3

)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(

3

3

，1)上單調(diào)遞減．所以函數(shù)V在x=

3

3

時(shí)取得最大值．
∴

AD

DB

=

2x

2-2x

=

x

1-x

=

3 3

1- 3 3

=

1

3 -1

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四棱錐的體積，作出二面角的平面角和求出四棱錐的高是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．