如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．

（1）求證：平面SAP;

（2）求二面角A－SD－P的大小.

(2)


解析:

證明：（1）因為底面，

所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角…………………….……….1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1

易求得，AP=PD=，…………………………………….…..………….2分

又因為AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以．………….…….3分

因為SA⊥底面ABCD,平面ABCD,

所以SA⊥PD,                …………….……………………….…....4分

由于SA∩AP=A     所以平面SAP． …………………………….5分

（2）設Q為AD的中點,連結(jié)PQ,       ……………………………….………6分

由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,則平面SAD⊥平面PAD……..7分

因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD

過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結(jié)PR,

由三垂線定理可知PR⊥SD,

所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分

容易證明△DRQ∽△DAS,則

因為DQ=1，SA=1，，所以….……….10分

在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，所以………11分

所以二面角A－SD－P的大小為．……………….…….…….12分

或：過A在平面SAP內(nèi)作,且垂足為H,在平面SAD內(nèi)作,且垂足為E,連接HE，平面SAP。平面SDP…………7分

∴HE為AE在平面SPD內(nèi)的射影，∴由三垂線定理得

從而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分

在中,，在中,，

.        ………………………………….11分

即二面角的大小為……………………………12分

練習冊系列答案
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（09年朝陽區(qū)二模文）（13分）

  如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點，與平面所成的角為，且，.

(Ⅰ) 求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

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（09年山東實驗中學診斷三理）（13分）如圖：四棱錐的底面是提醒，腰，平分且與垂直，側(cè)面都垂直于底面，平面與底面成60°角

（1）求證：；

（2）求二面角的大小

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點是上的點，且．     

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（Ⅱ）求的值，使平面；

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（本小題滿分12 分）

如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，

，平面，，為的中點，O為底面對角線的交點；

（1）求證：平面平面； 

（2）求二面角的正切值。

 

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