數(shù)列{an}滿足a1=2，且an+1=2-
1
an
．
（I）證明：數(shù)列{
1
an-1
}為等差數(shù)列；
（II）若bn=
n
2n
•an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
分析：（I）根據(jù)an+1=2-
1
an
，可得
1
an+1-1
-
1
an-1
=1，從而可得{
1
an-1
}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列；
（II）先確定數(shù)列{an}的通項，進(jìn)而可得bn=
n
2n
×an=
n+1
2n
，利用錯位相減法，可求數(shù)列的和．
解答：（I）證明：∵an+1=2-
1
an

∴an+1-1=1-
1
an

∴
an+1-1=
an-1
an

∴
1
an+1-1
-
1
an-1
=1
∴{
1
an-1
}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．
（II）解：由上知：
1
an-1
=1+(n-1)×1=n，∴an=
n+1
n
，n∈N*
∴bn=
n
2n
×an=
n+1
2n

Sn=b1+b2+b3+…+bn=2×(
1
2
)1+3×(
1
2
)2+4×(
1
2
)3+…+(n+1)(
1
2
)n
∴
1
2
Sn=2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3+4×(
1
2
)4+…+(n+1)(
1
2
)n+1
錯位相減得：
1
2
Sn=2×(
1
2
)1+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-(n+1)(
1
2
)n+1
∴Sn=3-(n+3)×(
1
2
)n
點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新數(shù)列，利用錯位相減法求數(shù)列的和．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=
nban-1an-1+n-1
（n≥2）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（4）證明：對于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
an-1an-2
(n≥3)，則a17等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知數(shù)列{an}極限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（將A用a表示）；
（II）設(shè)bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
對n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，an=
12
an-1+1(n≥2)
（1）若bn=an-2，求證{bn}為等比數(shù)列；    
（2）求{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是（　　）

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