Question

已知橢圓C的中心在坐標原點O，長軸在x軸上，離心率為

1

2

，且橢圓C上一點到兩個焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）已知P、Q是橢圓C上的兩點，若OP⊥OQ，求證：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值．
（Ⅲ）當

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為（Ⅱ）所求定值時，試探究OP⊥OQ是否成立？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由題意可設(shè)橢圓的坐標方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由題意可得

c

a

=

1

2

，2a=4，及b²=a²-c²=3．即可得出．
（II）當OP與OQ的斜率都存在時，設(shè)直線OP的方程為y=kx（k≠0），則直線OQ的方程為y=-

1

k

x（k≠0），P（x，y）．直線OP的方程y=kx與橢圓的方程聯(lián)立可得x2=

12

3+4k2

，得到|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，同理可得|OQ|²=

12(1+k2)

3k2+4

，

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

為定值．當直線OP或OQ的斜率一個為0而另一個不存在時，上式也成立．
（III）當

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

定值時，試探究OP⊥OQ是否成立？并說明理由．OP⊥OQ不一定成立．下面給出分析：
當直線OP或OQ的斜率一個為0而另一個不存在時，可得

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

4

+

1

3

=

7

12

，滿足條件．當直線OP或OQ的斜率都存在時，設(shè)直線OP的方程為y=kx（k≠0），則直線OQ的方程為y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．與橢圓的方程聯(lián)立可得|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，|OQ|²=

12[1+(k′)2]

3+4(k′)2

，利用

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3+4(k′)2

12[1+(k′)2]

=

7

12

．解得kk′=±1．即可判斷出．

解答： （I）解：由題意可設(shè)橢圓的坐標方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵離心率為

1

2

，且橢圓C上一點到兩個焦點的距離之和為4．
∴

c

a

=

1

2

，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）證明：當OP與OQ的斜率都存在時，設(shè)直線OP的方程為y=kx（k≠0），則直線OQ的方程為y=-

1

k

x（k≠0），P（x，y）．
聯(lián)立

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化為x2=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，同理可得|OQ|²=

12(1+k2)

3k2+4

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3k2+4

12(1+k2)

=

7

12

為定值．
當直線OP或OQ的斜率一個為0而另一個不存在時，上式也成立．
因此

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

為定值．
（III）當

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

定值時，試探究OP⊥OQ是否成立？并說明理由．
OP⊥OQ不一定成立．下面給出證明．
證明：當直線OP或OQ的斜率一個為0而另一個不存在時，則

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

a2

+

1

b2

=

1

4

+

1

3

=

7

12

，滿足條件．
當直線OP或OQ的斜率都存在時，
設(shè)直線OP的方程為y=kx（k≠0），則直線OQ的方程為y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．
聯(lián)立

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化為x2=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理可得|OQ|²=

12[1+(k′)2]

3+4(k′)2

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3+4(k′)2

12[1+(k′)2]

=

7

12

．
化為（kk′）²=1，
∴kk′=±1．
∴OP⊥OQ或kk′=1．
因此OP⊥OQ不一定成立．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點坐標、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．