Question

6．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂的值，并求$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}$的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，證明不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

分析 （I）利用已知求出a₂，利用遞推關(guān)系代入$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}$，即可得出．
（II）由$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=4$，且a₁-1=1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=\frac{{{4^n}-1}}{3}+\frac{n（n+1）}{2}$．對(duì)任意的n∈N^*，a₁=2，作差S_n+1-4S_n，即可證明．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，得a₂=4×2-3×1+1=6，
∴$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=\frac{{4{a_n}-3n+1-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=\frac{{4{a_n}-4n}}{{{a_n}-n}}=4$．
（II）由$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=4$，且a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列．
∴${a_n}-n={4^{n-1}}$，于是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={4^{n-1}}+n$．
（Ⅲ）證明：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=\frac{{{4^n}-1}}{3}+\frac{n（n+1）}{2}$．
對(duì)任意的n∈N^*，a₁=2，S_n+1-4S_n=$-\frac{1}{2}（3{n^2}+n-4）≤0$．
∴不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．