Question

8．在三棱錐P-ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱錐P-ABC的外接球的表面積為8π，則該三棱錐的體積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{9}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{9}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設出底面三角形的外心G，找出三棱錐P-ABC的外接球的球心O，通過求解直角三角形得到三棱錐的高，則答案可求．

解答 解：如圖
取BC中點為E，連接AE，
∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，
∴△ABC的外心G在AE上，設為G，取AB中點F，連接GF，
在Rt△AEB中，由BE=1，∠BAE=60°，得AF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又在Rt△AFG中，得$AG=\frac{AF}{cos60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
過G作PA的平行線與PA的中垂線HO交于O，
則O為三棱錐P-ABC的外接球的球心，即R=OA，
由4πR²=8π，得R=$\sqrt{2}$，
∵PA⊥平面ABC，∴OG⊥AG，
在Rt△AGO中，求得OG=$\sqrt{{R}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{2-\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴三棱錐P-ABC的高PA=2OG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
則三棱錐的體積為V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{9}$．
故選：B．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力和思維能力，考查計算能力，是中檔題．