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12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2an-4,數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=1,其n項(xiàng)和為Tn,且T2+T6=32.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若不等式nlog2(Sn+4)≥λbn+3n-7對(duì)任意的n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

分析 (I)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系即可得出.
(Ⅱ)Sn=2×4n-4.不等式nlog2(Sn+4)≥λbn+3n-7,化為:λ≤2n22n+7n+1,利用單調(diào)性求出2n22n+7n+1的最小值即可得出.

解答 解:(I)∵Sn=2an-4,
∴n=1時(shí),a1=2a1-4,解得a1=4;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-4-(2an-1-4),化為:an=2an-1
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項(xiàng)為4,公比為2,∴an=4×2n-1=2n+1
∵數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=1,
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,公差為1.
∵T2+T6=32,∴2b1+1+6b1+6×52×1=32,解得b1=2.
∴bn=2+(n-1)=n+1.
(Ⅱ)Sn=2×2n+1-4.
∴不等式nlog2(Sn+4)≥λbn+3n-7,化為:λ≤n2n+7n+1,
n2n+7n+1=(n+1)+9n+1-3≥2n+1×9n+1-3=3,
當(dāng)n=2時(shí),2n22n+7n+1取得最小值3,
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≤3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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