Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定義域．
（2）判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可求出定義域，
（2）利用函數(shù)的奇偶性的定義即可證明，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)a進行分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1），
∴

x+1

x-1

＞0，
解得x＞1，或x＜-1，
故函數(shù)f（x）的定義域（-∞，-1）∪（1，+∞），
（2）∵f（-x）=log_a

-x+1

-x-1

=-log_a

x+1

x-1

=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
設(shè)

x+1

x-1

=u，
則u=1+

2

x-1

，
因為函數(shù)u在每一個區(qū)間上均為減函數(shù)，
當a＞1是，函數(shù)y=log_ax為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當0＜a＜1是，函數(shù)y=log_ax為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）為增函數(shù)．

點評：本題主要考查了函數(shù)的定義域奇偶性單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題