Question

已知x=1為函數(shù)f（x）=（x²-ax+1）e^x的一個極值點．
（1）求a及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意x∈[-2，2]，t∈[1，2]，f（x）≥t²-2mt+2恒成立，求m取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數(shù)，利用1是函數(shù)的一個極值點，可求a=2，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由于x∈（-2，2）時，f（x）最小值為0，所以問題等價于t²-2mt+2≤0對t∈[1，2]恒成立，分離參數(shù)可求．

解答：解：（1）f′（x）′=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x，
由f′（1）=0得：a=2，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減
（2）x∈（-2，2）時，f（x）最小值為0
∴t²-2mt+2≤0對t∈[1，2]恒成立，分離參數(shù)得：m≥

t

2

+

1

t

易知：t∈[1，2]時

t

2

+

1

t

≤

3

2

，
∴m≥

3

2

點評：本題以函數(shù)的極值為載體，考查極值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了函數(shù)恒成立的處理方法，注意正確運用最值法．