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4.已知函數(shù)f(x)=(2k-1)lnx+kx+2x,有以下命題:
①當(dāng)k=-12時(shí),函數(shù)f(x)在(0,\frac{1}{2}})上單調(diào)遞增;
②當(dāng)k≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有極大值;
③當(dāng)-12<k<0時(shí),函數(shù)f(x)在(12,+∞)上單調(diào)遞減;
④當(dāng)k<-12時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有極大值f(12),有極小值f(-k).
其中正確命題的序號(hào)是(  )
A.①③B.②④C.①④D.②③

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分別利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

解答 解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2k1x-kx2+2=2x2+2k1xkx2=x+k2x1x2=2x+kx12x2,
①當(dāng)k=-12時(shí),f′(x)=2x122x2≥0恒成立,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
則在(0,\frac{1}{2}})上單調(diào)遞增,故①正確;
②當(dāng)k≥0時(shí),由f′(x)>0得x>12,此時(shí)函數(shù)為增函數(shù),
由f′(x)<0,得0<x<12,此時(shí)函數(shù)為減函數(shù),即當(dāng)x=12時(shí),函數(shù)f(x)存在極小值,
即可函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有極大值錯(cuò)誤,故②錯(cuò)誤;
③當(dāng)-12<k<0時(shí),則0<-k<12
由f′(x)<0得-k<x<12,
由f′(x)>0得0<x<-k或x>12,即函數(shù)f(x)在(12,+∞)上單調(diào)遞增;故③錯(cuò)誤,
④當(dāng)k<-12時(shí),-k>12,由f′(x)>0得0<x<12或x>-k,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,
由f′(x)<0得12<x<-k,即函數(shù)為減函數(shù),即函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有極大值f(12),
有極小值f(-k).故④正確,
故正確命題的序號(hào)①④,
故選:C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷,涉及函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力.

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