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5.已知F1、F2 是橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0):的左、右焦點,點Q(-2,1)在橢圓上,線段QF2 與y軸的交點M,且點M為QF2 中點
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P為橢圓C上一點,且∠F1PF2=\frac{π}{2},求△F1PF2 的面積.

分析 (1)設(shè)MM(0,y),結(jié)合M是線段QF2 的中點及Q的坐標求得F2的坐標,得到c,再由Q在橢圓上列式可得a,b的值,則橢圓方程可求;
(2)由∠F1PF2=\frac{π}{2},可知△PF1F2為直角三角形,在焦點三角形中由橢圓定義及余弦定理聯(lián)立求得PF1、PF2的值,則△F1PF2 的面積可求.

解答 解:(1)設(shè)M(0,y),∵M是線段QF2 的中點,
∴F2\sqrt{2},0),
\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=2}\end{array}\right.,解得a2=4,b2=2.
∴橢圓的標準方程為:\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1;
(2)由∠F1PF2=\frac{π}{2},可知P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2},
\left\{\begin{array}{l}{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}=8}\\{P{F}_{1}+P{F}_{2}=4}\end{array}\right.,解得PF1=PF2=2.
{S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}P{F}_{1}•P{F}_{2}=\frac{1}{2}×2×2=2

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),涉及橢圓焦點三角形問題,常利用橢圓定義及余弦定理求解,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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