Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-mx-1
（Ⅰ）若存在實數(shù)x，f（x）＜0成立，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若對于x∈[1，4]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題是關(guān)于存在性問題，要注意對二次項次數(shù)的討論，是二次不等式問題要注意二次不等式與二次函數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化；
（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，要轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，通過求解函數(shù)的最值，列出關(guān)于實數(shù)m的不等式，達到求解該題的目的．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2mx-m=m（2x-1），
m＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
若存在實數(shù)x，f（x）＜0成立，
則只需f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$m-1＜0，顯然成立，
m＜0時，f（x）開口向下，滿足題意，
m=0時，f（x）=-1，滿足題意，
綜上，m∈R；
（Ⅱ）當(dāng)m=0時，f（x）=-1＜0顯然恒成立；
當(dāng)m≠0時，該函數(shù)的對稱軸是x=$\frac{1}{2}$，f（x）在x∈[1，4]上是單調(diào)函數(shù)．
當(dāng)m＞0時，由于f（1）=-1＜0，要使f（x）＜0在x∈[1，4]上恒成立，只要f（4）＜0即可．
即16m-4m-1＜0得m＜$\frac{1}{12}$，即0＜m＜$\frac{1}{12}$；
當(dāng)m＜0時，若△＜0，由（1）知顯然成立，此時-4＜m＜0；若△≥0，則m≤-4，
由于函數(shù)f（x）＜0在x∈[1，4]上恒成立，只要f（1）＜0即可，此時f（1）=-1＜0顯然成立，
綜上可知：m＜$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題的解決思路和方法，考查函數(shù)與不等式的綜合問題，考查二次函數(shù)與二次不等式的互相轉(zhuǎn)化問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想和方法、解不等式的思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．