Question

已知函數f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值時x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用利用同角三角函數關系和倍角公式對函數解析是化簡，進而根據三角函數的性質求得其最小正周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的函數解析式，進而根據三角函數的性質求得函數的最大值和最小值，以及取得最大值時x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x
=1+1+cos2x-sin2x
=2+

2

(

2

2

cos2x-

2

2

sin2x)=2+

2

(cos

π

4

cos2x-sin

π

4

sin2x)=2+

2

cos(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

）
∴f(x)max=2+

2

，此時cos(2x+

π

4

)=1，2x+

π

4

=2kπ，
即x=-

π

8

+2kπ(k∈z).f(x)min=2-

2

．

點評：本題主要考查了三角函數的圖象和性質，三角函數恒等變換的運用．必須對正弦函數，余弦函數，正切余切函數的圖象熟記于心，在求周期性及最值，單調性等問題都非常有用．