【題目】已知函數(shù),的導(dǎo)函數(shù)為.

1)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

2)若對(duì)任意的,關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

1)先求函數(shù)的定義域,然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)分類討論,將的零點(diǎn)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)求解出來(lái).(2)構(gòu)造函數(shù),將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立,先利用確定的一個(gè)范圍,然后利用的二階導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證在這個(gè)范圍內(nèi),的最大值不大于零,由此求得的取值范圍.

解:(1)由題意得的定義域?yàn)?/span>,.

i)當(dāng)時(shí),,此時(shí)沒有零點(diǎn);

ii)當(dāng)時(shí),

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),可知直線與函數(shù)圖象的相切點(diǎn),此時(shí)切線的斜率為.

①當(dāng),即時(shí),兩個(gè)圖象沒有交點(diǎn),即函數(shù)沒有零點(diǎn);

②當(dāng),即時(shí),兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);

③當(dāng),即時(shí)兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);

④當(dāng),即時(shí),兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).

2)設(shè) ,

要使原不等式恒成立,則只要對(duì)恒成立,

所以.

,則.

由于“對(duì)恒成立”的一個(gè)必要條件是,即.

當(dāng)時(shí),,,

所以上單調(diào)遞減.

所以,從而上單調(diào)遞減,則,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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