設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0),Sn是其前n項(xiàng)和.
(Ⅰ) 若a2•a9=130,a4+a7=31,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 記bn=
Snn
,n∈N*,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,n∈N*).
分析:(Ⅰ)a2+a9=a4+a7=31,知a2,a9是方程x2-31x+130=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,解出方程,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an;
(Ⅱ)表示出Sn,bn,由b1,b2,b4成等比數(shù)列,得a,d的關(guān)系式,從而可化簡(jiǎn)Sn,代入等式左右兩邊驗(yàn)證即可;
解答:(Ⅰ)解:∵{an}是等差數(shù)列,由性質(zhì)知a2+a9=a4+a7=31,
∴a2,a9是方程x2-31x+130=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,解得x1=5,x2=26,
當(dāng)a2=5,a9=26時(shí),d=3,an=3n-1;當(dāng)a2=26,a9=5時(shí),d=-3,an=-3n+32;
∴an=3n-1或an=-3n+32;
(Ⅱ)證明:由題意知Sn=na+
n(n-1)
2
d

bn=
Sn
n
=a+
n-1
2
d
,
∵b1,b2,b4成等比數(shù)列,∴b22=b1b4,
(a+
1
2
d)2=a(a+
3
2
d)
,∴
1
2
ad-
1
4
d2=0
,
1
2
d(a-
1
2
d)=0
,
∵d≠0,∴a=
1
2
d
,∴d=2a,
Sn=na+
n(n-1)
2
d=na+
n(n-1)
2
2a=n2a
,
∴左邊=Snk=(nk)2a=n2k2a,右邊=n2Sk=n2k2a,∴左邊=右邊,
Snk=n2Sk(k,n∈N*)成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,解答此題的關(guān)鍵是理解并掌握非常數(shù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù),此題是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為an的一組正三角形AnBn-1Bn的底邊Bn-1Bn依次排列在x軸上(B0與坐標(biāo)原點(diǎn)重合).設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列,若所有正三角形頂點(diǎn)An在第一象限,且均落在拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上,則
a
d
的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•江蘇)設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0),Sn是其前n項(xiàng)和.記bn=
nSnn2+c
,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù).
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差數(shù)列,證明:c=0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•上海)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,有一組對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為an的正方形AnBnCnDn(n=1,2,…),其對(duì)角線(xiàn)BnDn依次放置在x軸上(相鄰頂點(diǎn)重合).設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d(d>0)的等差數(shù)列,點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(d,0).
(1)當(dāng)a=8,d=4時(shí),證明:頂點(diǎn)A1、A2、A3不在同一條直線(xiàn)上;
(2)在(1)的條件下,證明:所有頂點(diǎn)An均落在拋物線(xiàn)y2=2x上;
(3)為使所有頂點(diǎn)An均落在拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上,求a與d之間所應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為an的一組正三角形AnBn-1Bn的底邊Bn-1Bn依次排列在x軸上(B與坐標(biāo)原點(diǎn)重合).設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列,若所有正三角形頂點(diǎn)An在第一象限,且均落在拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上,則的值為( )

A.1
B.
C.
D.

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