分析 (Ⅰ)由橢圓的離心率√22,其右焦點到直線2ax+by-√2=0的距離為√23,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C1的方程.
(Ⅱ)(i)橢圓C2的方程為y22+x2=1,設(shè)直線l方程為y=kx-13,代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2−43kx−169=0.由此利用韋達定理能證明點G恒在橢圓C2內(nèi)部.
(ii)當AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1,當AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+13)2=169,若以AB為直徑的圓恒過定點,則該定點必為Q(0,1),再證明Q(0,1)適合題意,從而以AB為直徑的圓恒過定點(0,1).
解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b≥1)的離心率√22,其右焦點到直線2ax+by-√2=0的距離為√23,
∴{e=ca=√22|2ac−√2|√4a2+2=√23a2=2+c2,解得a=√2,b=c=1,
∴橢圓C1的方程為x22+y2=1.
證明:(Ⅱ)(i)橢圓C2的方程為y22+x2=1,
當直線l垂直于x軸時,AB的中點為(0,-13)在橢圓C2內(nèi)部.
當直線l不垂直于x軸時,設(shè)直線方程為y=kx-13,代入x22+y2=1,
并整理,得(1+2k2)x2−43kx−169=0.
∴y1+y2=k(x1+x2)−23=-23(1+2k2),
∴G(2k3(1+2k2),-13(1+2k2)),
∵118(1+2k2)2+4k29(1+2k2)2=8k2+118(1+4k2+4k4)=8k2+172k4+72k2+18<1恒成立,
∴點G恒在橢圓C2內(nèi)部.
解:(ii)當AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1,
當AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+13)2=169,
由{x2+y2=1x2+(y+13)2=169,得{x=0y=1,
由此可知若以AB為直徑的圓恒過定點,則該定點必為Q(0,1),
下面證明Q(0,1)適合題意.
由(i)知:x1+x2=4k3(1+2k2),x1•x2=−169(1+2k2),
∴→QA•→QB=(x1,y1-1)•(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1−43)(kx2−43)
=(1+k2)x1x2-43k(x1+x2)+169
=(1+k2)−169(1+2k2)-43k•4k3(1+2k2)+169
=−16−16k2−16k2+16(1+2k2)9(1+2k2)=0,
∴→OA⊥→QB,即Q(0,1)在以AB為直徑的圓上.
綜上,以AB為直徑的圓恒過定點(0,1).
點評 本題考查橢圓方程的求法,考查線段中點恒在橢圓內(nèi)部的證明,考查以線段為直線的圓是否恒過定點的判斷與證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | √13 | B. | √15 | C. | 2 | D. | √5 |
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A. | (-3,-1,4) | B. | (-3,-1,-4) | C. | (3,1,4) | D. | (3,-1,4) |
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