Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
8.已知橢圓C1x2a2+y2b2=1ab1的離心率22,其右焦點到直線2ax+by-2=0的距離為23
(I)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)過點P013的直線l交橢圓C1于A、B兩點.
(i)證明:線段AB的中點G恒在橢圓C2y2a2+x22=1的內(nèi)部;
(ii)判斷以AB為直徑的圓是否恒過定點?若是,求出該定點坐標;若不是,請說明理由.

分析 (Ⅰ)由橢圓的離心率22,其右焦點到直線2ax+by-2=0的距離為23,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C1的方程.
(Ⅱ)(i)橢圓C2的方程為y22+x2=1,設(shè)直線l方程為y=kx-13,代入x22+y2=1,得1+2k2x243kx169=0.由此利用韋達定理能證明點G恒在橢圓C2內(nèi)部.
(ii)當AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1,當AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y+132=169,若以AB為直徑的圓恒過定點,則該定點必為Q(0,1),再證明Q(0,1)適合題意,從而以AB為直徑的圓恒過定點(0,1).

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C1x2a2+y2b2=1ab1的離心率22,其右焦點到直線2ax+by-2=0的距離為23
{e=ca=22|2ac2|4a2+2=23a2=2+c2,解得a=2,b=c=1,
∴橢圓C1的方程為x22+y2=1.
證明:(Ⅱ)(i)橢圓C2的方程為y22+x2=1,
當直線l垂直于x軸時,AB的中點為(0,-13)在橢圓C2內(nèi)部.
當直線l不垂直于x軸時,設(shè)直線方程為y=kx-13,代入x22+y2=1,
并整理,得1+2k2x243kx169=0.
y1+y2=kx1+x223=-231+2k2
∴G(2k31+2k2,-131+2k2),
1181+2k22+4k291+2k22=8k2+1181+4k2+4k4=8k2+172k4+72k2+18<1恒成立,
∴點G恒在橢圓C2內(nèi)部.
解:(ii)當AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1,
當AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y+132=169
{x2+y2=1x2+y+132=169,得{x=0y=1,
由此可知若以AB為直徑的圓恒過定點,則該定點必為Q(0,1),
下面證明Q(0,1)適合題意.
由(i)知:x1+x2=4k31+2k2x1x2=1691+2k2,
QAQB=(x1,y1-1)•(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+kx143kx243
=(1+k2)x1x2-43kx1+x2+169
=(1+k21691+2k2-43k4k31+2k2+169
=1616k216k2+161+2k291+2k2=0,
OAQB,即Q(0,1)在以AB為直徑的圓上.
綜上,以AB為直徑的圓恒過定點(0,1).

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查線段中點恒在橢圓內(nèi)部的證明,考查以線段為直線的圓是否恒過定點的判斷與證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

18.如圖所示,三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱AB,AC,AD兩兩互相垂直,O為點A在底面BCD上的射影.
(1)求證:O為△BCD的垂心;
(2)類比平面幾何的勾股定理,猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個關(guān)系,并給出證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

19.設(shè)橢圓x225+y29=1的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過焦點F1的直線交橢圓于A,B兩點,若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為4π,設(shè)A,B的兩點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則|y1-y2|值為5.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

16.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為22,且過點M(-2,0).
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:x=ky+1與橢圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,連接MA,MB交直線x=4于P,Q兩點,yP,yQ分別為P、Q的縱坐標,求證:1y1+1y2=1yP+1yQ

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.用分析法證明:當x≥4時,x3+x2x4+x1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

13.已知函數(shù)f(x)=ax+a1x-2a+1(a>0).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)證明:nk=2lnk1k+12nn22nn+1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

20.已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點,過F1的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A,B兩點,若|AB|:|BF2|:|AF2|=4:3:5,則雙曲線的離心率為( �。�
A.13B.15C.2D.5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

17.已知點A(-3,1,-4),則點A關(guān)于原點對稱的點的坐標為(  )
A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)C.(3,1,4)D.(3,-1,4)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

18.若a,b,c為Rt△ABC的三邊,其中c為斜邊,那么當n>2,n∈N*時,an+bn與cn的大小關(guān)系為an+bn<cn

查看答案和解析>>

同步練習冊答案