給出下列命題:
(1)已知可導函數(shù)f(x),x∈D,則函數(shù)f(x)在點x0處取得極值的充分不必要條件是f′(x0)=0,x0∈D.
(2)已知命題P:?x∈R,sinx≤1,則¬p:?x∈R,sinx>1.
(3)已知命題p:
1
x 2-3x+2
>0
,則¬p:
1
x 2-3x+2
≤0

(4)給定兩個命題P:對任意實數(shù)x都有ax2+ax+1>0恒成立;Q:關于x的方程x2-x+a=0有實數(shù)根.如果P∧Q為假命題,P∨Q為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪(
1
4
,4)

其中所有真命題的編號是
(2),(4)
(2),(4)
分析:根據(jù)函數(shù)零點與導數(shù)值為0對應的數(shù)之間的關系,結合充要條件的定義,可判斷(1);利用全稱命題的否定方法,可判斷(2)(3)根據(jù)類二次不等式恒成立的條件及二次方程根的個數(shù)與△的關系,結合復合命題真假判斷的真值表,可判斷(4)
解答:解:函數(shù)f(x)在點x0處取得極值則f′(x0)=0,
但f′(x0)=0時,函數(shù)f(x)在點x0處取得極值不恒成立,
故函數(shù)f(x)在點x0處取得極值的必要不充分條件是f′(x0)=0,x0∈D.故(1)為假命題;
命題P:?x∈R,sinx≤1,則¬p:?x∈R,sinx>1,故(2)為真命題;
命題p:
1
x 2-3x+2
>0
,則¬p:
1
x 2-3x+2
≤0
1
x 2-3x+2
無意義,故(3)為假命題;
若命題P:“對任意實數(shù)x都有ax2+ax+1>0恒成立”為真,則0≤a<4;
若命題Q:關于x的方程x2-x+a=0有實數(shù)根,則△=1-4a≥0,即a≤
1
4

如果P∧Q為假命題,P∨Q為真命題,則P和Q一真一假
若P真Q假,則
1
4
<a<4,若P假Q真,則a<0
則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪(
1
4
,4)

故所有真命題的編號為:(2),(4).
故答案為:(2),(4)
點評:本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的極值,全稱命題,命題的否定,復合命題的真假判斷,難度中檔.
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(2)當f(0)=f(2)時,f(x)的圖象必關于直線x=1對稱;
(3)若a2-b≤0,則f(x)在區(qū)間[a,+∞)上是增函數(shù);
(4)f(x)有最小值b-a2
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(3)
(3)

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x-1
(x-2)≥0
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其中真命題的個數(shù)為(  )

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