Question

如圖，△ABC中，∠B=

π

2

，A（-2，0）、B（0，-2

2

），頂點(diǎn)C在x軸上，設(shè)圓M是△ABC的外接圓：
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE是圓M的任意一條直徑，試問(wèn)

OD

•

OE

是否為定值？若是，求出定值并證明你的結(jié)論；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理求得AC的長(zhǎng)，則M點(diǎn)坐標(biāo)可求，圓M的方程可求；
（2）設(shè)出過(guò)M的直線(xiàn)方程，和圓的方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到D、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和與積，代入數(shù)量積公式求得

OD

•

OE

為定值．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵∠B=

π

2

，OA=2，OB=2

2

，
∴AB=

22+(2 2 )2

=2

3

，
又AB²=AO•AC，
∴AC=

AB2

AO

=

12

2

=6，
∴M（1，0），圓M的半徑為3，
則圓M：（x-1）²+y²=9；
（2）設(shè)過(guò)M的直線(xiàn)為：x=my+1與圓（x-1）²+y²=9的兩個(gè)交點(diǎn)為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
聯(lián)立

x=my+1 (x-1)2+y2=1

，
得：（m²+1）y²=9．
∴y1+y2=0，y1y2=

-9

m2+1

，
則

OD

•

OE

=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-8，
當(dāng)過(guò)M的直線(xiàn)垂直于y軸時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足．
∴

OD

•

OE

=-8，為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的方程的求法，訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，是中檔題．