Question

12．已知四面體ABCD中，AB=CD=2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為$\frac{π}{3}$，則EF=1或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)O，連結(jié)EO、FO，推導(dǎo)出EO=FO=1，$∠EOF=\frac{π}{3}$，或$∠EOF=\frac{2π}{3}$，由此能求出EF．

解答 解取BD中點(diǎn)O，連結(jié)EO、FO，
∵四面體ABCD中，AB=CD=2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為$\frac{π}{3}$，
∴EO∥CD，且EO=$\frac{1}{2}CD=1$，F(xiàn)O∥AB，且FO=$\frac{1}{2}AB$=1，
∴∠EOF是異面直線AB與CD所成的角，
∴$∠EOF=\frac{π}{3}$，或$∠EOF=\frac{2π}{3}$，
當(dāng)∠EOF=$\frac{π}{3}$時(shí)，△EOF是等邊三角形，∴EF=1．
當(dāng)$∠EOF=\frac{2π}{3}$時(shí)，EF=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-\frac{1}{2}×1×1×cos\frac{2π}{3}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：1或$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線段長的示法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．