已知函數(shù)y=x+有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù).

(1)如果函數(shù)y=x+在(0,4]上是減函數(shù),在[4,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)常數(shù)b的值;

(2)設(shè)常數(shù)c∈[1,4],求函數(shù)f(x)=x+,x∈[1,2]的最大值和最小值;

(3)當(dāng)n是正整數(shù)時(shí),研究函數(shù)g(x)=xn+(c>0)的單調(diào)性,并說(shuō)明理由.

分析:本題設(shè)計(jì)新穎,層層遞進(jìn),是演繹推理的典型應(yīng)用,要正確理解題意.根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論,按照嚴(yán)格的邏輯法進(jìn)行證明、推理,尋找題目中的大前提和小前提.

解:(1)由函數(shù)y=x+的性質(zhì),知y=x+在[0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù).∴2b=4,即2b=16=24.∴b=4.

(2)∵c∈[1,4],∴∈[1,2].

又∵ f(x)=x+在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù).∴在x∈[1,2]上,當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取得最小值2.又f(1)=1+c,f(2)=2+,f(2)-f(1)=1-.

當(dāng)c∈[1,2)時(shí),f(2)-f(1)>0,f(2)>f(1).

此時(shí)f(x)的最大值為f(2)=2+.

當(dāng)c=2時(shí),f(2)-f(1)=0,f(2)=f(1).

此時(shí)f(x)的最大值為f(2)=f(1)=3.

當(dāng)c∈(2,4]時(shí),f(2)-f(1)<0,f(2)<f(1).此時(shí)f(x)的最大值為f(1)=1+c.

(3)g′(x)=nxn-1-,令g′(x)=0,得x2n=c,∴x

又∵x≠0,列表分析,如下:

x

(0,)

(,+∞)

f′(x)

-

0

+

f(x)

*

極小值

 

于是函數(shù)g(x)在(0,)上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù).

當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí),g(x)=xn+,在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函數(shù),于是g(x)在(-∞,-]上是增函數(shù),在[-,0]上是減函數(shù);

當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí),g(x)=xn+在(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函數(shù),于是g(x)在(-∞,-]上是減函數(shù),在[-,0]上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•武昌區(qū)模擬)已知點(diǎn)P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運(yùn)動(dòng),設(shè)弧   的長(zhǎng)度為x,弓形面積為f(x)(如圖所示的陰影部分),則關(guān)于函數(shù)y=f(x)的有如下結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都是[0,π];
②如果函數(shù)y=f(x)的定義域R,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);
③如果函數(shù)y=f(x)的定義域R,則函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]是單調(diào)遞增函數(shù).
以上結(jié)論的正確個(gè)數(shù)是( 。

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已知點(diǎn)P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運(yùn)動(dòng),設(shè)弧的長(zhǎng)度為x,弓形面積為f(x)(如圖所示的陰影部分),則關(guān)于函數(shù)y=f(x)的有如下結(jié)論:

①函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都是[0,π];

②如果函數(shù)y=f(x)的定義域R,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);

③如果函數(shù)y=f(x)的定義域R,則函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù);

④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上是單調(diào)遞增函數(shù).

以上結(jié)論的正確個(gè)數(shù)是

[  ]

A.1

B.2

C.3

D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

已知點(diǎn)P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運(yùn)動(dòng),設(shè)弧  的長(zhǎng)度為x,弓形面積為f(x)(如圖所示的陰影部分),則關(guān)于函數(shù)y=f(x)的有如下結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都是[0,π];
②如果函數(shù)y=f(x)的定義域R,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);
③如果函數(shù)y=f(x)的定義域R,則函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]是單調(diào)遞增函數(shù).
以上結(jié)論的正確個(gè)數(shù)是


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年湖北省武漢市武昌區(qū)高三五月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

已知點(diǎn)P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運(yùn)動(dòng),設(shè)弧   的長(zhǎng)度為x,弓形面積為f(x)(如圖所示的陰影部分),則關(guān)于函數(shù)y=f(x)的有如下結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都是[0,π];
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④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]是單調(diào)遞增函數(shù).
以上結(jié)論的正確個(gè)數(shù)是( )

A.1
B.2
C.3
D.4

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