Question

已知函數f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）設P（x₀，y₀）為函數f（x）圖象上的任意一點，若當x₀∈（0，3]時，點P處的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，令導數大于0，小于0，分別解出不等式即可；
（2）切線的斜率即為函數在切點處的導數，讓f′（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

恒成立即可，再由不等式恒成立時所取的條件得到實數a范圍，即得實數a的最小值．

解答： 解：由f（x）=lnx+

a

x

（a＞0），得到f′（x）=

x-a

x2

（1）令f′（x）＞0，得到x-a＞0，故函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（a，+∞），
令f′（x）＜0，得到x-a＜0，故函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，a），
故函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，a），單調遞增區(qū)間為（a，+∞）．
（2）由于f′（x₀）=

x0-a

x02

，且以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立
則f′（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

在（0，3]上恒成立，即a≥x₀-

1

2

x02在（0，3]上恒成立，
令g（x）=x₀-

1

2

x02（0＜x≤3），可知g（x）_max=g（1）=

1

2

，
∴a≥

1

2

，
故實數a的最小值為

1

2

．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．同時考查利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，不等式恒成立時所取的條件．