Question

（2012•葫蘆島模擬）已知a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx，數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，b_n=n-33，n∈N^*，則b_nS_n的最小值為

-

70

3

．

Answer 1

分析：由題意，先由微積分基本定理求出a_n再根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)求出數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，然后代入求b_nS_n的最小值即可得到答案

解答：解：a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx=（x²+x）

|

n 0

=n²+n
∴

1

an

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

又b_n=n-33，n∈N^*，
則b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=n+1+

34

n+1

-35≥2

34

-35，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)n+1+

34

n+1

，即n=

34

-1時(shí)成立，
由于n是正整數(shù)，且

34

-1∈（4，5），后面求n=4，n=5時(shí)b_nS_n的值
當(dāng)n=4時(shí)，b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=-

106

5

；當(dāng)n=5時(shí)，b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=-

70

3

由于-

106

5

＞-

70

3

，故b_nS_n的最小值為-

70

3

故答案為-

70

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查微積分基本定理及數(shù)列的求和，數(shù)列的最值等問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，知識(shí)轉(zhuǎn)換快，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，莫因變形出現(xiàn)失誤導(dǎo)致解題失敗