Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx•cosωx+sin²ωx-

1

2

（ω＞0），其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）銳角△ABC中，f（

A

2

+

π

8

）=

1

2

，AB=4，△ABC的面積為6，求BC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式化簡(jiǎn)整理，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得T進(jìn)而求得函數(shù)解析式．
（2）通過f（

A

2

+

π

8

）=

1

2

求得sinA的值，進(jìn)而求得A，然后通過三角形面積求得AC，最后利用余弦定理求得BC．

解答： 解：（1）f(x)=

1

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=

2

2

sin(2ωx-

π

4

)，
∴

T

2

=

π

2

，
∴T=π，
∴2ω=

2π

T

⇒ω=1，
∴f(x)=

2

2

sin(2x-

π

4

)；
（2）∵f(

A

2

+

π

8

)=

1

2

，
∴

2

2

sinA=

1

2

，
∴sinA=

2

2

，
又由銳角△ABC知，角A為銳角，
∴A=

π

4

；
∵S△ABC=

1

2

•AB•AC•sinA=

1

2

•4•AC•sinA=

2

AC=6，
∴AC=3

2

，
∴BC²=AB²+AC²-2•AB•AC•cosA=10，
∴BC=

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等知識(shí)．