【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,滿足b1=1,.
①求數(shù)列{bn}的通項公式bn;
②若存在p,q,k∈N*,p<q<k,使得ambq,amanbp,anbk成等差數(shù)列,求m+n的最小值.
【答案】(1) an.(2) ①bn=2n﹣1;②7
【解析】
(1)根據(jù)前n項和與通項的關系,即可求出通項公式;
(2)①將代入遞推公式中,用裂項相消求出,再由前n項和求出通項;
②由等差數(shù)列的中項性質,求出的不等量關系,結合基本不等式,即可得到最小值.
(1)∵數(shù)列{an}的前n項和.
∴當n=1時,a1=S1,
當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1,
當時,a1,滿足上式,
∴an.
(2)①∵
=()+()+()+…+()
1.
∴1,
∴Tn+1=2n+1﹣1,Tn=2n﹣1,
把上面兩式相減得,bn+1=2n,
∴時,,
當時,滿足上式,
②由ambq,amanbp,anbk成等差數(shù)列,
有2amanbp=ambq+anbk,
即2,
由于p<q<k,且為正整數(shù),所以q﹣p≥1,k﹣p≥2,
所以mn=m+n≥2m+4n,
可得 mn≥2m+4n,1,
的最小值為12,
此時或或,
的最小值為12.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調性并指出相應單調區(qū)間;
(2)若,設是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知服從正態(tài)分布的隨機變量在區(qū)間,,內取值的概率分別為0.6826,0.9544,0.9974.若某種袋裝大米的質量(單位:)服從正態(tài)分布,任意選一袋這種大米,質量在的概率為_.
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【題目】某儀器經(jīng)過檢驗合格才能出廠,初檢合格率為:若初檢不合格,則需要進行調試,經(jīng)調試后再次對其進行檢驗;若仍不合格,作為廢品處理,再檢合格率為.每臺儀器各項費用如表:
項目 | 生產成本 | 檢驗費/次 | 調試費 | 出廠價 |
金額(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每臺儀器能出廠的概率;
(Ⅱ)求生產一臺儀器所獲得的利潤為1600元的概率(注:利潤出廠價生產成本檢驗費調試費);
(Ⅲ)假設每臺儀器是否合格相互獨立,記為生產兩臺儀器所獲得的利潤,求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】給出以下四個命題:
(1)命題,使得,則,都有;
(2)已知函數(shù)f(x)=|log2x|,若a≠b,且f(a)=f(b),則ab=1;
(3)若平面α內存在不共線的三點到平面β的距離相等,則平面α平行于平面β;
(4)已知定義在上的函數(shù) 滿足條件 ,且函數(shù) 為奇函數(shù),則函數(shù)的圖象關于點對稱.
其中真命題的序號為______________.(寫出所有真命題的序號)
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.
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【題目】如圖,已知橢圓的左、右焦點分別為、,點為橢圓上任意一點,關于原點的對稱點為,有,且的最大值.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若是關于軸的對稱點,設點,連接與橢圓相交于點,問直線與軸是否交于一定點.如果是,求出該定點坐標;如果不是,說明理由.
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【題目】如圖,在三棱柱中,平面,為邊上一點,,.
(1)證明:平面平面.
(2)若,試問:是否與平面平行?若平行,求三棱錐的體積;若不平行,請說明理由.
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