Question

2．已知點F₁與點F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的左、右焦點，點P在直線l：x-$\sqrt{3}$y+8+2$\sqrt{3}$=0上，當∠F₁PF₂取最大值時，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的比值是（　　）

• A． $\sqrt{2}+1$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的方程得出其左右焦點分別為F₁（-2$\sqrt{3}$，0）、與F₂（2$\sqrt{3}$，0），如圖，根據(jù)平面幾何知識知，當∠F₁PF₂取最大值時，經(jīng)過F₁與F₂的圓與直線l相切，求出圓心坐標，再利用相似三角形的知識得出$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$，最后利用相似比即可求出答案．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的左右焦點分別為
F₁（-2$\sqrt{3}$，0）、F₂（2$\sqrt{3}$，0）．
如圖，根據(jù)平面幾何知識知，當∠F₁PF₂取最大值時，經(jīng)過F₁與F₂的圓與直線l相切，
此時圓心在y軸上，坐標為A（0，2），
在直線l：x-$\sqrt{3}$y+8+2$\sqrt{3}$=0中，
令y=0得B的坐標：B（-8-2$\sqrt{3}$，0），
在三角形BPF₁和三角形BF₂P中，∠BPF₁=∠BF₂P，
∴△BPF₁∽△BF₂P，
∴$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{|BP|}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{A{B}^{2}-P{A}^{2}}}{BO+O{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{4+（8+2\sqrt{3}）^{2}-（4+12）}}{8+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1．
故選：D．

點評 本小題主要考查直線與圓錐曲線的關系、直線與圓的位置關系、圓的切線等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．