Question

6．已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0和直線1：x+2y-4=0；
（1）當曲線C表示圓時，求m的取值范圍；
（2）當曲線C表示圓時，被直線1截得的弦長為2$\sqrt{5}$．求m的值
（3）是否存在實數(shù)m，使得曲線C與直線1相交于M，N兩點．且滿足0M⊥ON（其中O為坐標原點）．若存在．求m的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過對x²+y²-2x-4y+m=0變形，結合圓的標準方程計算即得結論；
（2）通過（1）可知m＜5，利用點到直線的距離公式計算可知弦心距d，利用弦心距、半徑與半弦長的關系計算即得結論；
（3）通過聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達定理可知y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{8+m}{5}$，利用向量的坐標運算得到關于m的方程，進而解方程即得結論．

解答 解：（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
∴（x-1）²+（y-2）²=5-m，
又∵曲線C表示圓，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）由（1）可知m＜5，
又∵直線1：x+2y-4=0，
∴圓心到直線l的距離d=$\frac{|1+4-4|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵直線1截得的弦長為2$\sqrt{5}$，
∴5-m=$（\frac{2\sqrt{5}}{2}）^{2}$+$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}$，
解得：m=-$\frac{1}{5}$；
（3）結論：存在實數(shù)m=$\frac{8}{5}$，使得曲線C與直線1相交于M，N兩點，且滿足0M⊥ON（其中O為坐標原點）．
理由如下：
聯(lián)立直線與曲線方程，消去x整理得：
5y²-16y+8+m=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{8+m}{5}$，
由0M⊥ON可知$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，（4-2y₁）（4-2y₂）+y₁y₂=0，
整理得：16+5y₁y₂-8（y₁+y₂）=0，
即16+5•$\frac{8+m}{5}$-8•$\frac{16}{5}$=0，
解得：m=$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查直線和圓的方程的應用，涉及點到直線的距離公式、勾股定理、韋達定理、向量的坐標運算等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．