Question

已知函數(shù)，.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)，，，為函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，若過，兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于，求的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ).

試題分析：(Ⅰ)先求出函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024314893566.png" style="vertical-align:middle;" />，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得.對(duì)分， ，，四種情況進(jìn)行討論，求得每種情況下使得的的取值范圍，求得的的取值集合即是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(Ⅱ)先根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出斜率滿足的不等式，對(duì)、的取值進(jìn)行分類討論，然后將問題“過， 兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)在恒為增函數(shù)”，即在上，恒成立問題，即是在恒成立問題，然后根據(jù)不等式恒成立問題并結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解.
試題解析：(Ⅰ)依題意，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024314893566.png" style="vertical-align:middle;" />，
.
(ⅰ)若，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).
(ⅱ)若，
恒成立，故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).
(ⅲ)若，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).
(ⅳ)若，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.                            6分
（Ⅱ）依題意，若過兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于，則有，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即.
設(shè)函數(shù)，若對(duì)于兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒成立，
則函數(shù)在恒為增函數(shù)，
即在上，恒成立，等價(jià)于在恒成立，則有
①時(shí)，即，所以
或②時(shí)，需且，即顯然不成立.
綜上所述，.                                        14分