Question

設無窮等差數列{a_n}的前n項和為S_n，求所有的無窮等差數列{a_n}，使得對于一切正整數k都有成立．

Answer 1

【答案】分析：先由k=1，k=2時，確定首項和公差，再驗證每一組解是否符合題意，從而可以找到符合題意的數列
解答：解：若等差數列{a_n}滿足
則當k=1時，有s₁=s₁³，∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1
當k=2時，有s₈=s₂ ³，即
（1）當a₁=0時，代入上式得
①當a₁=0，d=0時，a_n=0，S_n=0
滿足
此時，數列{a_n}為：0，0，0…
②當時，，

∴不滿足題意
③當時，，

∴不滿足題意
（2）當a₁=1時，代入上式得d=0或d=2或d=-8
①當a₁=1，d=0時，a_n=1，S_n=n
滿足
此時，數列{a_n}為：1，1，1…
②當a₁=1，d=2時，a_n=2n-1，
滿足
此時，數列{a_n}為：1，3，5…
③當a₁=1，d=-8時，a_n=-8n+9，S_n=n（5-4n）

∴不滿足題意
（3）當a₁=-1時，代入上式得d=0或d=-2或d=8
①當a₁=-1，d=0時，a_n=-1，S_n=-n
滿足
此時，數列{a_n}為：-1，-1，-1…
②當a₁=-1，d=-2時，a_n=-2n+1，
滿足
此時，數列{a_n}為：-1，-3，-5…
③當a₁=-1，d=8時，a_n=8n-9，S_n=n（4n-5）

∴不滿足題意
∴滿足題意的等差數列{a_n}有：
①0，0，0…
②1，1，1…
③1，3，5…
④-1，-1，-1…
⑤-1，-3，-5…
點評：本題考查等差數列通項公式和前n項和的計算，要注意分類討論．屬中檔題