Question

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且Sn=2an-1(n∈N*

）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.．

Answer 1

分析：（1）由遞推公式S_n=2a_n-1，可得n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-1，兩式相減整理可得a_n=2a_n-2a_n-1
整理可得，a_n=2a_n-1，從而可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）由（1）可得，T_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1，考慮利用錯(cuò)位相減求和的方法求解

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-1
n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-1
兩式相減可得，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
即a_n=2a_n-2a_n-1
整理可得，a_n=2a_n-1
∵a₁=S₁=2a₁-1，a₁=1
數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公比為2得等比數(shù)列
∴a_n=2^n-1
（2）T_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1
  2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
兩式相減可得，-T_n=1+2¹+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2n=2n-1-n•2n
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和的方法的應(yīng)用，要注意該求和方法是數(shù)列求和中的一個(gè)難點(diǎn)．