已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinxcosx．
（1）將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+?）形式；
（2）是否存在x∈[0，
π
4
]，使得f(x)=
1
2
，若存在，求出x，若不存在，說明理由；
（3）當(dāng)x∈[0，
π
4
]時，討論y=f（x）的圖象與y=a（a為常數(shù)）的圖象交點的個數(shù)．
分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式化簡．
（2）若x∈[0，
π
4
]，求得f（x）∈[1，2]，f（x）≠
1
2
，所以不存在．
（3）當(dāng)x∈[0，
π
4
]時，求出函數(shù)的最值，以及函數(shù)的值域，利用單調(diào)性，說明函數(shù)y=f（x）與y=a（a為常數(shù)）的圖象的交點的個數(shù)
解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinxcosx
=2cosx（
1
2
sinx+
3
2
cosx）-
3
sin2x+sinxcosx
=
3
cos2x-
3
sin2x+2sinxcosx
=
3
cos2x+sin2x
=2sin（2x+
π
3
）．
（2）若x∈[0，
π
4
]，則2x+
π
3
∈[
π
3
，
5π
6
]，sin（2x+
π
3
）∈[
1
2
，1]，
f（x）∈[1，2]，f（x）≠
1
2
，所以不存在．
（3）當(dāng)x∈[0，
π
4
]時，f（x）=2sin（2x+
π
3
）在區(qū)間[0，
π
12
]上是單調(diào)增函數(shù)，
在區(qū)間[
π
12
，
π
4
]是單調(diào)減函數(shù)，
x∈[0，
π
12
]時，f（x）∈[
3
，2]，
x∈[
π
12
，
π
4
]時f（x）∈[1，2]
當(dāng)
3
≤a＜2時，函數(shù)y=f（x）與y=a（a為常數(shù)）的圖象的交點的個數(shù)為：2；
當(dāng)a=2或1＜a＜
3
時函數(shù)y=f（x）與y=a（a為常數(shù)）的圖象的交點的個數(shù)為：1；
當(dāng)2＜a或a＜1時，函數(shù)y=f（x）與y=a（a為常數(shù)）的圖象的交點的個數(shù)為：0．
點評：本題考查三角函數(shù)公式的應(yīng)用，考查分析問題、解決問題，轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想和能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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