Question

已知四棱錐P-ABCD，側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD為等邊三角形，底面ABCD為棱形且∠DAB=

π

3

．
（Ⅰ）求證：PB⊥AD；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AD中點O，連結PO，BO，由等邊三角形性質得PO⊥AD，由菱形性質得BO⊥AD，從而AD⊥平面POB，由此能證明PB⊥AD．
（Ⅱ）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，設AB=2，求出平面PAB的法向量和平面PCD的法向量，由此利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成的角（銳角）的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AD上點O，連結PO，BO，
∵側面PAD為等邊三角形，∴PO⊥AD，
∵底面ABCD為棱形且∠DAB=

π

3

，
∴BO⊥AD，又PO∩BO=O，
∴AD⊥平面POB，
又PB?平面POB，∴PB⊥AD．
（Ⅱ）解：∵四棱錐P-ABCD，側面PAD⊥底面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，又OA⊥OB，
∴以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標系，設AB=2，
則A（1，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，

3

），
C（-2，

3

，0），D（-1，0，0），

PA

=（1，0，-

3

），

PB

=（0，

3

，-

3

），
設平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PA =x- 3 z=0 n • PB = 3 y- 3 z=0

，取y=

3

，得

n

=（3，

3

，

3

），

PC

=（-2，

3

，-

3

），

PD

=（-1，0，-

3

），
設平面PCD的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • PC =-2a+ 3 b- 3 c=0 m • PD =-a- 3 c=0

，取c=

3

，得

m

=（-3，-

3

，

3

），
設平面PAB與平面PCD所成的角（銳角）為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

-9-3+3

15 • 15

|=

3

5

．
平面PAB與平面PCD所成的角（銳角）的余弦值為

3

5

．

點評：本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關系，考查線線垂直、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．