Question

對于數(shù)列{x_n}，若對任意n∈N^*，都有

xn+xn+2

2

＜x_n+1成立，則稱數(shù)列{x_n}為“減差數(shù)列”．設(shè)數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S₃=

7

4

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列{S_n}是否為“減差數(shù)列”；
（2）設(shè)b_n=（2-na_n）t+a_n，若數(shù)列b₃，b₄，b₅，…是“減差數(shù)列”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則1+q+q²=

7

4

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列{S_n}為“減差數(shù)列”．
（2）由題設(shè)知，b_n=2-

n

2n-1

t+

1

2n-1

=2t-

tn-1

2n-1

．由此能求出t的取值范圍是（1，+∞）．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則1+q+q²=

7

4

，
因?yàn)閝＞0，所以q=

1

2

，
所以a_n=

1

2n-1

，
S_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
所以

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=S_n+1，
所以數(shù)列{S_n}是“減差數(shù)列”．
（2）由題設(shè)知，b_n=2-

n

2n-1

t+

1

2n-1

=2t-

tn-1

2n-1

．
由

bn+bn+2

2

＜b_n+1，得t-

tn-1

2n

+t-

t(n+2)-1

2n+2

＜2t-

t(n+1)-1

2n

，
即

tn-1

2n

+

t(n+2)-1

2n+2

＞

t(n+1)-1

2n

，化簡得t（n-2）＞1．
又當(dāng)n≥3時(shí)，t（n-2）＞1恒成立，即t＞

1

n-2

恒成立，
所以t＞（

1

n-2

）_max=1．
故t的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查{a_n}的通項(xiàng)公式的求示，考查數(shù)列{S_n}是否為“減差數(shù)列”的判斷，考查實(shí)數(shù)t的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．