Question

已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點．
（Ⅰ）證明：//平面；
（Ⅱ）證明：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）

證明：連結BD交AC于點O，連結EO．                                     ……1分
O為BD中點，E為PD中點，
∴EO//PB．                                                             ……2分
EO平面AEC，PB平面AEC，                                         ……3分
∴ PB//平面AEC．                       
（Ⅱ）

證明：
PA⊥平面ABCD．平面ABCD，
∴．                                                          ……4分
又在正方形ABCD中且，                        ……5分
∴CD平面PAD．                                                       ……6分
又平面PCD，
∴平面平面．                                              ……7分
（Ⅲ）如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空
間直角坐標系．
                                         ……8分
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．                                 ……9分
PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．
設平面AEC的法向量為, ,
則 即 
∴
∴令,則.                                           ……11分
∴,                            ……12分
二面角的正弦值為.                                     ……13分
點評：證明線面平行和面面垂直時，要緊扣定理要求的條件，缺一不可，用向量求二面角時，要注意所求的二面角時銳角還是鈍角.