Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=19
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，可得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-3$，再由向量夾角公式，計(jì)算即可得到所求值；
（2）由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）由$（{2\overrightarrow a-3\overrightarrow b}）•（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=19$
可得$4{|{\overrightarrow a}|^2}-4\overrightarrow a•\overrightarrow b-3{|{\overrightarrow b}|^2}=19$．
又∵$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{3}$，
∴$16-4\overrightarrow a•\overrightarrow b-9=19$，
即$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-3$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|}}=\frac{-3}{{2×\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∵0≤θ≤π，
∴$θ=\frac{5π}{6}$．
（2）由$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+λ\overrightarrow b）$可得，$\overrightarrow a•（\overrightarrow a+λ\overrightarrow b）=0$，
即${\overrightarrow a^2}+λ\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
即4-3λ=0，
解得$λ=\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和夾角公式，以及向量數(shù)量積的性質(zhì)，向量的平方即為模的平方和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．