Question

已知等比數列{a_n}的項a₃，a₅是方程2x²+11x+10=0的兩個根，則a₁²+a₇²=

 

．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件得到a₃a₅=

10

2

=5，a3+a5=-

11

2

，設a1=

a4

q3

，a3=

a4

q

，a5=a4q，a7=a4q 3，推導出q2+

1

q2

=

121

20

-2=

81

20

，由此能求出a₁²+a₇²的值．

解答： 解：∵等比數列{a_n}的項a₃，a₅是方程2x²+11x+10=0的兩個根，
∴a₃a₅=

10

2

=5，a3+a5=-

11

2

，
∵a1=

a4

q3

，a3=

a4

q

，a5=a4q，a7=a4q 3，
a42=5，

a4

q

+a4q=a4(q+

1

q

)=-

11

2

，
∴q+

1

q

=-

11

2a4

，∴(q+

1

q

)2=q2+

1

q2

+2=

121

120

，
∴q2+

1

q2

=

121

20

-2=

81

20

，
∴a₁²+a₇²=(

a4

q3

)2+(a4q3)2
=a42[(

1

q2

)3+(q2)3]
=5(

1

q2

+q2)(q4+

1

q4

-1)
=5×

81

20

•[(q2+

1

q2

)2-3]
=

81

4

[(

81

2

)2-3]
=

434241

1600

．
故答案為：

434241

1600

．

點評：本題考查等比數列的性質的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．