Question

若橢圓E₁：和橢圓E₂：滿足，則稱這兩個橢圓相似，m稱為其相似比．
（1）求經過點，且與橢圓相似的橢圓方程；
（2）設過原點的一條射線l分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩點（其中點A在線段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）對于真命題“過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C₁：和C₂：交于A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為”．請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據定義得到有解得即可得到與橢圓相似的橢圓方程；
（2）先對射線與y軸重合時求出結論；再對射線不與坐標軸重合時，由橢圓的對稱性，僅考查A、B在第一象限的情形，聯立直線與兩個橢圓方程分別求出線段的長度，再結合函數的單調性即可求出的最大值和最小值；（整理過程需小心避免出錯）．
（3）分析出命題的基本條件為：橢圓、、m=2、等差，類比著寫：①雙曲線或拋物線； ②a，b或p； ③相似比為m；④等比，再加以證明即可．
解答：解：（1）設所求的橢圓方程為，則有解得
∴所要求的橢圓方程為
（2）①當射線與y軸重合時，=
②當射線不與坐標軸重合時，由橢圓的對稱性，我們僅考察A、B在第一象限的情形．
設其方程為y=kx（k≥0，x＞0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由解得

由解得，
∴
∴=
令則由知
∴=
記，則f（t）在上是增函數，∴，
∴
由①②知，的最大值為，的最小值為．
（3）本題根據學生提出和解決問題的質量評分
命題結構：條件⇒結論
條件由四部分組成：

其中基本條件為：橢圓、、m=2、等差，
得分條件為：①雙曲線或拋物線； ②a，b或p； ③相似比為m；④等比．
例1：①雙曲線+②a，b+③相似比為m+等差
過原點的一條射線分別與兩條雙曲線C₁：和C₂：（m＞0）交于A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為
證明：∵射線l與雙曲線有交點，不妨設其斜率為k，顯然．
設射線l的方程為y=kx，設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由解得  ，
由解得  
由P點在射線l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得即
得
例2：①拋物線+②p+③相似比為m+等差
過原點的一條射線分別與兩條拋物線C₁：y²=2px（p＞0）和C₂：y²=2mpx（m＞0）相交于異于原點的A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為y²=（1+m）px
證明：∵射線l與拋物線有異于原點的交點，不妨設其斜率為k．
設射線l的方程為y=kx，設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由解得  ，
由解得  
由P點在射線l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得即
得 y²=（1+m）px
點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，難度較大，解題時要仔細審題，注意公式的靈活運用．