Question

如圖，正四棱錐P-ABCD的高為3，底面邊長為2，E是棱PC的中點，過AE作平面與棱PB、PD分別交于點M、N（M、N可以是棱的端點）．
（Ⅰ）當(dāng)M是PB的中點時，求PN的長；
（Ⅱ）求直線AE與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：（Ⅰ）當(dāng)M是PB的中點時，證明ME∥AN，可得N、D兩點重合，即可求PN的長；
（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AE與平面PBC所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)M是PB的中點時，ME∥BC．
因為BC∥平面PAD，所以ME∥平面PAD，
所以ME∥AN．
又ME∥AD，所以N、D兩點重合．
所以PN=PD=

32+( 2 )2

=

11

．…（4分）
（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(

2

，0，0)，C(0，

2

，0)，P(0，0，3)，A(0，-

2

，0)，E(0，

2

2

，

3

2

)
∴

PB

=(

2

，0，-3)，

PC

=(0，

2

，-3)，

AE

=(0，

3 2

2

，

3

2

)．…（6分）
設(shè)平面PBC的一個法向量為

m

=（x，y，z），則

2 x-3z=0 2 y-3z=0

，令z=

2

，得

m

=（3，3，

2

）．…（8分）
設(shè)直線AE與平面PBC所成的角為θ，則sin θ=|cos?m，

AE

＞|=

9 2 2 + 3 2 2

3 3 2 •2 5

=

2 30

15

．
所以直線AE與平面PBC所成角的正弦值為

2 30

15

．…（12分）

點評：本題考查了面面垂直的證明，考查線面角，考查向量知識的運用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．