已知正方形ABCD的邊長為1,記以A為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為;以C為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為,若i,j,k,l∈{1,2,3},且i≠j,k≠l,則的最小值是 .
﹣5
解析試題分析:不妨記以A為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為,,,以C為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為,,.如圖建立坐標(biāo)系.
(1)當(dāng)i=1,j=2,k=1,l=2時(shí),則=[(1,0)+(1,1)]•[((﹣1,0)+(﹣1,﹣1)]=﹣5;
(2)當(dāng)i=1,j=2,k=1,l=3時(shí),則=[(1,0)+(1,1)]•[((﹣1,0)+(0,﹣1)]=﹣3;
(3)當(dāng)i=1,j=2,k=2,l=3時(shí),則=[(1,0)+(1,1)]•[((﹣1,﹣1)+(0,﹣1)]=﹣4;
(4)當(dāng)i=1,j=3,k=1,l=2時(shí),則=[(1,0)+(0,1)]•[((﹣1,0)+(﹣1,﹣1)]=﹣3;
同樣地,當(dāng)i,j,k,l取其它值時(shí),=﹣5,﹣4,或﹣3.
則的最小值是﹣5.
故答案為:﹣5.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查平面向量坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等基本知識(shí),考查考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題、解決問題的能力
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