已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，都能使m整除f(n)，求最大的m的值.

解：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,

∴f(1)、f(2)、f(3)能被36整除.猜想f(n)能被36整除.

證明：n=1，2時(shí)，由上得證.

設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，

則n=k+1時(shí)，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k

=36(k+5)·3k－2(k≥2).

∴f(k+1)能被36整除.

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除,

∴所求最大的m的值等于36.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，求m的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省瓦房店市高二4月月考數(shù)學(xué)理卷 題型：選擇題

已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(    )

A、30           B、 26              C、 36          D、 6

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N+,都能使m整除f(n),如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆安徽省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都能使m整除f(n)，猜測出最大的m的值。并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜測是正確的。

【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

然后證明n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)  證明得到。解析  ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 

證明  n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)  f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36

 

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