【題目】已知從有限個平面向量構(gòu)成的集合中任取三個元素，其中總存在兩個元素，使得.試求中元素個數(shù)的最大值.

【答案】7

【解析】

所求中元素個數(shù)的最大值為7.

設(shè)點、、是平面上任意三點，考慮7元集合，它顯然滿足條件.下面證明：中的元素不能多于7個.

當(dāng)中的元素全部共線時，將所有元素的起點移至同一點，作一條與所有元素平行的直線并作出中所有元素在直線上的投影，于是，中的所有向量均對應(yīng)以中元素的共同起點在上的投影為原點，直線的任意取定一個方向為正方向的數(shù)軸上的坐標(biāo).從而，問題可轉(zhuǎn)化為求與原題對應(yīng)的數(shù)集問題（由二維轉(zhuǎn)化為一維）.

接下來證明：該數(shù)集中至多有7個元素.

首先證明：該數(shù)集中最多有3個正數(shù).假設(shè)可能有不少于4個的元素是正數(shù)，其中，最大的4個數(shù)分別為、、、，且.

事實上，，所以，和數(shù).而大于的元素只有一個，卻有，于是，在集合或中，至少有一個集合的任意兩個元素之和不在中.這與已知矛盾，故該數(shù)集中最多有3個正數(shù).同理，該數(shù)集中最多有3個負(fù)數(shù).加上一個0，從而，數(shù)集中至多有7個元素.

當(dāng)中的元素不全共線時，將所有元素的起點移至同一點，由的有限性知可作出平面直角坐標(biāo)系，使得中的元素均不與坐標(biāo)軸平行.

下面證明：上半平面內(nèi)至多有3個元素.

首先證明：上半平面的所有元素全不共線.假設(shè)上半平面內(nèi)存在中的元素與共線，則可取與和夾角最小的元素.考慮集合，由的取法，知和均不在中（兩向量的和向量在這兩個向量之間）.于是，中存在，使得，從而，與、共線.考慮集合，類似上面的討論，知中存在與、共線.如此討論下去，知中存在無窮多個元素與、共線，矛盾.故上半平面的所有元素全不共線.

其次證明：上半平面內(nèi)至多有3個元素.假設(shè)在上半平面內(nèi)有不少于4個元素，按逆時針方向順次取其中4個相鄰元素、、、.考慮集合，則有；考慮集合，則有.從而，，即.這與、同在上半平面內(nèi)矛盾，故上半平面內(nèi)至多有3個元素.同理，下半平面內(nèi)至多有3個元素.加上零向量，從而，集合中至多有7個元素.

綜上所述，集合中元素個數(shù)的最大值為7.

練習(xí)冊系列答案
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：若某人未使用該血清，那么他在一年中有的可能性得感冒

：這種血清預(yù)防感冒的有效率為

：這種血清預(yù)防感冒的有效率為

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男

女

總計

事先知道“蘄春四寶”

8

n

q

事先不知道“蘄春四寶”

m

4

36

總計

40

p

t

附：

寫出列聯(lián)表中各字母代表的數(shù)字；

由以上列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為購買“蘄春四寶”和是否“事先知道蘄春四寶有關(guān)系”？

現(xiàn)從這60名游客中用分層抽樣的方法抽取15名游客進行問卷調(diào)查，再從抽取的女游客中，隨機選出2人給予小禮品，求有2名女游客是事先知道“蘄春四寶”的概率？

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