Question

一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積和半球的體積相等，則這個圓錐的母線與軸所成角正弦值為（　�。�

• A、

  4

  5

• B、

  3

  5

• C、

  5

  5

• D、

  2 5

  5

Answer 1

分析：一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積和半球的體積相等，設出底面半徑和母線與軸所成角為θ，表示出圓錐的高，根據(jù)圓錐體積公式V=

1

3

πR2H，和球的體積公式V=

4

3

πR³，代入即可求得圓錐的母線與軸所成角正弦值．

解答：解：設圓錐的半徑為R，高為H，母線與軸所成角為θ，則圓錐的高
H=R•ctgθ
圓錐的體積，
V₁=

1

3

πR2H=

1

3

πR3ctgθ
半球的體積
V₂=

2

3

πR3
∵V1=V2
解得ctgθ=2，∵ctgθ=

cosθ

sinθ

=2，sin²θ+cos²θ=1
解得sinθ=

5

5

．
故選C．

點評：考查圓錐和球的體積公式，及線線角的問題，在計算過程中注意公式的靈活應用，屬基礎題．