Question

已知拋物線P：x²=2py (p>0)．

（Ⅰ）若拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為．

（ⅰ）求拋物線的方程；

（ⅱ）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為E，過(guò)E作拋物線的切線，求此切線方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)分別交拋物線的準(zhǔn)線于C，D兩點(diǎn)，求證：以CD為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F．

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由拋物線定義可知，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線距離相等，

         即到的距離為3；

         ∴ ，解得．

∴ 拋物線的方程為．                    ………………4分

（ⅱ）拋物線焦點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線與y軸交點(diǎn)為，

顯然過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線斜率存在，設(shè)為，切線方程為．

由，  消y得，              ………………6分

，解得．                       ………………7分

∴切線方程為．                          ………………8分

（Ⅱ）直線的斜率顯然存在，設(shè)：，

設(shè)，，

由    消y得 ．   且．

∴ ，；

∵ ， ∴ 直線：，                               

與聯(lián)立可得， 同理得．……………10分

∵ 焦點(diǎn)，

∴ ，，             ………………12分

∴

∴  以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)．                 ………………14分